ENEMPEDIA

A trigonometria do ângulo agudo estuda relações entre ângulos e lados em triângulos retângulos. Quando falamos de ângulos agudos, tratamos daqueles menores que 90°, e no contexto de um triângulo retângulo eles aparecem como os ângulos complementares ao ângulo reto de 90°.

Para compreender a trigonometria desse ângulo, relacionamos os catetos e a hipotenusa. O cateto oposto é o lado que fica de frente para o ângulo analisado, enquanto o cateto adjacente está ao lado desse ângulo, mas não é a hipotenusa. A hipotenusa é sempre o lado oposto ao ângulo reto, sendo o lado mais extenso do triângulo retângulo.

Os valores de seno, cosseno e tangente servem para traduzir as proporções entre esses lados. O seno de um ângulo agudo (indicado por sin ou seno) é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. Já o cosseno (cos ou cosseno) é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. A tangente (tan ou tg) é o quociente entre o cateto oposto e o cateto adjacente.

Para relembrar, escrevemos:

seno(θ) = (cateto oposto) / (hipotenusa)

cosseno(θ) = (cateto adjacente) / (hipotenusa)

tangente(θ) = (cateto oposto) / (cateto adjacente)

Essas relações são úteis para determinar medidas desconhecidas em triângulos retângulos, como alturas, distâncias ou profundidades, sem precisar aplicar diretamente o Teorema de Pitágoras. Em problemas práticos, basta identificar qual relação é mais conveniente. Se sabemos o cateto oposto e queremos a hipotenusa, ou vice-versa, usamos seno. Se precisamos relacionar o cateto adjacente e a hipotenusa, escolhemos cosseno. Se temos informação apenas dos catetos, adotamos a tangente.

Para exemplificar, considere um triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em A, ângulo θ em B e cateto AB oposto a θ. Se AB mede 6 e BC (a hipotenusa) mede 10, então o seno(θ) = 6/10 = 0,6. Se quisermos descobrir o ângulo θ, usamos as tabelas trigonométricas ou uma calculadora, encontrando θ ≈ 36,87°. Esse exemplo ilustra o modo como obtemos ângulos a partir de razões trigonométricas.

O ENEM costuma inserir questões de trigonometria em contextos do cotidiano. Um exemplo típico é o de rampas com ângulo de inclinação, ou de postes projetando sombras sob um ângulo específico do sol. Também podem aparecer problemas que envolvam escalas em mapas, alturas de prédios ou torres, e medidas de distâncias inacessíveis. Em todos esses casos, identificar o triângulo retângulo e o ângulo envolvido é essencial para escolher a razão trigonométrica mais adequada.

Para resolver questões corretamente, é crucial interpretar o enunciado, desenhar um esquema do triângulo, marcar o ângulo agudo de interesse e definir qual lado é oposto e qual é adjacente ao ângulo. Em seguida, aplicar a razão correta. Se o problema pede a distância que é a hipotenusa, mas você tem o cateto oposto e o ângulo, use o seno. Se tem o cateto adjacente e o ângulo, mas quer a hipotenusa, recorra ao cosseno. Caso o enunciado forneça os catetos, então a tangente costuma ser a chave.

Outra utilidade desses conceitos é entender a relação fundamental entre seno e cosseno de um mesmo ângulo. Eles estão ligados por sen²(θ) + cos²(θ) = 1, que é uma consequência do Teorema de Pitágoras. Esse detalhe aparece em alguns problemas que pedem para deduzir cosseno a partir de um valor de seno. Mesmo sem ter o triângulo em mãos, podemos usar essa identidade para encontrar o outro valor trigonométrico.

Além disso, a tangente de um ângulo θ pode ser expressa em função de seno e cosseno: tangente(θ) = seno(θ)/cosseno(θ). Se, por exemplo, o problema fornece o seno e cosseno de um ângulo, basta dividi-los para achar a tangente. Ou se sabemos a tangente e o cosseno, podemos reordenar essas expressões para chegar ao seno, dependendo do que é pedido.

No ENEM, é comum exigir alguma aproximação numérica de valores trigonométricos. Em geral, a banca fornece dados básicos, como sen(30°) = 0,5, cos(45°) = √2/2 ≈ 0,707, sen(60°) = √3/2 ≈ 0,866 e assim por diante. Se a questão não fornecer, pode-se supor que o aluno deve conhecer aproximadamente esses valores. Tabelas completas não são esperadas, mas memorizar ângulos notáveis como 30°, 45° e 60° ajuda bastante.

Em muitos problemas, pode ser preciso combinar as razões trigonométricas com o Teorema de Pitágoras ou com semelhança de triângulos. Um exemplo é se tivermos dois triângulos que compartilham um ângulo e a altura de um deles é desconhecida. Geralmente, criamos equações envolvendo seno ou tangente no triângulo retângulo e resolvemos, explorando semelhança para relacionar as medidas.

Por fim, a melhor forma de se preparar para essas questões é praticar bastante, sobretudo com problemas contextualizados, pois esse é o estilo característico do ENEM. Assim, ao identificar um enunciado que mencione altura, inclinação, sombra, distância ou ângulo de visão, desconfie que a trigonometria do ângulo agudo será fundamental. Fazer um rascunho detalhado, marcar o ângulo e lados correspondentes e escolher a razão trigonométrica adequada conduzirá ao sucesso.

SIMULADO ENEM

Questão 1

Em um local plano, um poste de 12 m de altura projeta uma sombra de 8 m quando o sol atinge um certo ângulo com o solo. Qual é o valor aproximado do ângulo de elevação do sol em relação ao solo?

A) 30°

B) 33°

C) 42°

D) 45°

E) 53°

Comentário de Resolução: Se consideramos o triângulo retângulo formado pela altura do poste (12 m), a sombra (8 m) e a linha do sol como hipotenusa, o ângulo em questão é aquele cujos cateto oposto é 12 e cateto adjacente é 8. Então tan(θ) = 12/8 = 1,5. Precisamos de um ângulo cujo tangente é 1,5. Esse valor se aproxima de 56,31°, mas como não há essa opção, o que mais se aproxima é 56°, que não está na lista. Verificando as opções, 53° é a escolha mais próxima. Resposta correta: E) 53°.

Questão 2

Seja θ um ângulo agudo de um triângulo retângulo. Sabendo que cos(θ) = 0,6, qual é o valor aproximado de sen(θ)?

A) 0,4

B) 0,5

C) 0,8

D) 0,9

E) 1,0

Comentário de Resolução: Da identidade sen²(θ) + cos²(θ) = 1, temos sen²(θ) = 1 – 0,6² = 1 – 0,36 = 0,64. Então sen(θ) = √0,64 = 0,8. Resposta: C) 0,8.

Questão 3

Uma rampa de acesso tem 5 m de comprimento (hipotenusa). Se o ângulo de inclinação da rampa com o solo é 30°, qual é a altura da rampa em relação ao solo?

A) 2,0 m

B) 2,5 m

C) 3,0 m

D) 3,5 m

E) 4,0 m

Comentário de Resolução: A altura em relação ao solo é o cateto oposto ao ângulo de 30°, enquanto a hipotenusa é 5 m. Então sin(30°) = altura / 5. Mas sin(30°) = 0,5. Assim, 0,5 = altura / 5, levando a altura = 2,5 m. Resposta correta: B) 2,5 m.

Essas questões ilustram bem como a trigonometria do ângulo agudo se aplica no ENEM. Reconheça o triângulo retângulo na situação proposta, identifique os catetos (oposto e adjacente) e a hipotenusa, selecione a razão apropriada e resolva a questão. Praticar esses passos em diferentes contextos é a melhor forma de consolidar o aprendizado e conquistar bons resultados na prova.