ENEMPEDIA

O estudo dos ângulos é fundamental para a compreensão de diversos temas na matemática. Eles aparecem em geometria plana, geometria espacial, trigonometria e até em questões de física que envolvem vetores e projeções.

No ENEM, é comum encontrar questões que exploram propriedades de ângulos, sejam em polígonos, em retas paralelas cortadas por transversais, em problemas de medida ou em situações aplicadas do cotidiano. Neste artigo, vamos explorar os conceitos básicos dos ângulos, os tipos mais importantes, algumas propriedades relevantes e aplicações práticas em questões típicas do ENEM.

1. Conceito de Ângulo e Medidas

Um ângulo é formado pela abertura entre duas semirretas que partem de um mesmo ponto, chamado de vértice. A medida de um ângulo geralmente é expressa em graus (°) ou radianos, mas, para o ENEM, o foco costuma ser em graus.

• 1 volta completa = 360°

• 1 radiano ≈ 57,3°, mas o ENEM costuma ficar com graus

A representação de um ângulo é feita pela notação ∠ABC, em que B é o vértice, enquanto A e C são pontos que definem as semirretas.

2. Tipos de Ângulos

3. Ângulo Reto: Mede 90°.

4. Ângulo Agudo: Menor que 90°.

5. Ângulo Obtuso: Maior que 90° e menor que 180°.

6. Ângulo Raso ou Plano: Mede 180°.

7. Ângulo de uma Volta Completa: Mede 360°.

8. Ângulos Complementares: Dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é 90°.

9. Ângulos Suplementares: Dois ângulos são suplementares se a soma de suas medidas é 180°.

10. Ângulos Replementares: Dois ângulos são replementares se a soma de suas medidas é 360°.

11. Relações Fundamentais

Em muitas situações geométricas, usamos relações entre ângulos para resolver problemas. Algumas das principais propriedades são:

• Bissetriz de um ângulo: Uma semirreta que divide o ângulo em duas partes de mesma medida.

• Ângulos Opostos pelo Vértice (OPV): Quando duas retas se cruzam, formam-se quatro ângulos. Os ângulos opostos pelo vértice são congruentes (têm a mesma medida).

• Ângulos Adjacentes: Compartilham um lado e o mesmo vértice.

• Ângulos Internos e Externos em Polígonos: A soma dos ângulos internos de um polígono convexo com n lados é (n – 2) × 180°.

4. Retas Paralelas e Transversais

Um tema recorrente no ENEM é o estudo de retas paralelas cortadas por uma reta transversal. Nesse contexto, surgem ângulos com propriedades importantes:

• Ângulos Correspondentes: São congruentes quando as retas são paralelas.

• Ângulos Alternos Internos: Também são congruentes em retas paralelas.

• Ângulos Alternos Externos: Congruentes.

• Ângulos Colaterais Internos: São suplementares (somam 180°).

• Ângulos Colaterais Externos: Também suplementares.

Essas propriedades ajudam a resolver diversos problemas envolvendo polígonos, ângulos internos e externos, e até mesmo questões de geometria analítica.

5. Aplicações em Triângulos

Os triângulos são figuras muito presentes nas provas do ENEM. Alguns conceitos importantes relacionados a ângulos em triângulos:

• Soma dos ângulos internos de um triângulo: 180°.

• Triângulo Retângulo: Possui um ângulo de 90°. Aqui, podem aparecer relações de trigonometria (seno, cosseno e tangente) e o Teorema de Pitágoras.

• Triângulo Isósceles: Possui dois lados iguais e, consequentemente, os ângulos opostos a esses lados também são iguais.

• Triângulo Equilátero: Todos os ângulos são iguais a 60°.

6. Aplicações em Polígonos

Em polígonos convexos, podemos aplicar fórmulas relacionadas à soma dos ângulos internos e à soma dos ângulos externos:

• Soma dos ângulos internos de um polígono convexo com n lados: (n – 2) × 180°.

• Soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo: 360°.

Além disso, quando o polígono é regular (todos os lados e ângulos iguais), cada ângulo interno pode ser calculado por [(n – 2) × 180°] / n.

7. Trigonometria e Funções Relacionadas

Outro ponto importante é a ligação dos ângulos com a trigonometria:

• Em questões de trigonometria básica, a relação entre ângulos e razões trigonométricas (seno, cosseno, tangente) aparece frequentemente em triângulos retângulos ou em circunferências.

• A interpretação geométrica de seno e cosseno está diretamente ligada a medidas de ângulos.

8. Problemas do Cotidiano

O ENEM costuma contextualizar questões de ângulos em situações reais:

• Ângulos de inclinação em rampas ou telhados.

• Direções de ventos em um mapa.

• Medidas de latitude e longitude.

• Construções que envolvem retas paralelas, como ferrovias e ruas em bairros planejados.

9. Estratégias para Resolver Questões

10. Leia atentamente o enunciado: Identifique se o problema envolve retas paralelas, triângulos específicos ou polígonos regulares.

11. Desenhe: Em geometria, um bom esboço é fundamental para visualizar ângulos e perceber relações.

12. Identifique Propriedades: Use as propriedades de ângulos OPV, ângulos correspondentes, alternos, suplementares.

13. Cuidado com Unidades: Geralmente, o ENEM usa graus, mas fique atento se aparecer radianos (mais raro no ENEM, mas ainda possível).

14. Verifique se há dados adicionais: Às vezes, há informações numéricas que permitem aplicar soma de ângulos internos ou externos.

15. Exemplo Prático

Um exemplo de questão que pode aparecer no ENEM:

“Em um determinado bairro, duas ruas paralelas são cortadas por uma avenida transversal. Em um ponto de interseção, forma-se um ângulo agudo de 40°. Qual é o ângulo obtuso formado nessa mesma interseção?”

Como as retas são paralelas e a avenida é a transversal, o ângulo agudo de 40° corresponde a um dos ângulos alternos ou correspondentes. O ângulo obtuso formado será 180° – 40° = 140°, devido à relação de suplementaridade em retas paralelas.

SIMULADO ENEM

Questão 1

Um feixe de luz incide em um espelho plano, formando com a normal (linha perpendicular à superfície) um ângulo de 30°. Qual será o ângulo de reflexão, em relação a essa mesma normal?

A) 15°

B) 30°

C) 45°

D) 60°

E) 90°

Resolução:

Em espelhos planos, o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. Se o raio de luz incidente forma 30° com a normal, então o raio refletido também fará 30° com a normal. Portanto, a resposta correta é B) 30°.

Questão 2

Considere duas retas paralelas cortadas por uma transversal. Se um ângulo correspondente mede 50°, qual é a medida de um ângulo colateral interno formado pelas mesmas retas e a mesma transversal?

A) 30°

B) 50°

C) 100°

D) 130°

E) 180°

Resolução:

Quando duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, os ângulos colaterais internos são suplementares. Se um ângulo correspondente é 50°, o ângulo colateral interno que o acompanha será 180° – 50° = 130°. Resposta: D) 130°.

Questão 3

Em um hexágono regular, qual é a medida de cada ângulo interno?

A) 90°

B) 100°

C) 120°

D) 135°

E) 150°

Resolução:

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é (n – 2) × 180°. Para um hexágono, n = 6. Soma = (6 – 2) × 180° = 4 × 180° = 720°. Em um hexágono regular, todos os ângulos internos são iguais. Logo, cada ângulo interno é 720° ÷ 6 = 120°. Resposta: C) 120°.

Conclusão

Os ângulos são um dos temas mais recorrentes e fundamentais na matemática, especialmente nas questões do ENEM que envolvem geometria plana, polígonos regulares, retas paralelas e trigonometria. Saber identificar os tipos de ângulos e aplicar as propriedades adequadas é essencial para resolver problemas de forma eficiente. Pratique exercícios, revisite os conceitos e, sempre que possível, desenhe figuras e anote as relações de ângulos. Dessa forma, você estará bem preparado para enfrentar qualquer questão de geometria angular na prova do ENEM.

Bons estudos e sucesso!