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A progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão. Compreender esse conceito é essencial para resolver questões de matemática no ENEM. Neste artigo, vamos explorar os principais aspectos das progressões geométricas e apresentar exercícios práticos para ajudar na sua preparação.

O que é uma Progressão Geométrica?

Uma progressão geométrica é uma sequência de números em que cada termo (a partir do segundo) é igual ao termo anterior multiplicado por uma constante diferente de zero, chamada razão (q).

Exemplo de PG:

2, 4, 8, 16, 32,…

• Primeiro termo (a1): 2

• Razão (q): 4 ÷ 2 = 2 ou 8 ÷ 4 = 2

• Cada termo é obtido multiplicando o anterior por 2.

Fórmula do Termo Geral da PG

Para encontrar qualquer termo de uma PG sem precisar listar todos os termos, utilizamos a fórmula:

an = a1 × q^(n – 1)

Onde:

• an: n-ésimo termo que queremos encontrar

• a1: primeiro termo da PG

• q: razão da PG

• n: posição do termo na sequência

Exemplo:

Calcule o 5º termo de uma PG onde a1 = 3 e q = 2.

an = 3 × 2^(5 – 1)

an = 3 × 2^4

an = 3 × 16

an = 48

Portanto, o 5º termo é 48.

Soma dos Termos de uma PG

Para calcular a soma dos n primeiros termos de uma PG, utilizamos:

• Se q ≠ 1:

Sn = a1 × (q^n – 1) / (q – 1)

• Se q = 1:

Sn = a1 × n

Exemplo:

Calcule a soma dos 4 primeiros termos da PG com a1 = 2 e q = 3.

Sn = 2 × (3^4 – 1) / (3 – 1)

Sn = 2 × (81 – 1) / 2

Sn = 2 × 80 / 2

Sn = 80

Tipos de Progressão Geométrica

• PG Crescente: Quando |q| > 1 e a1 > 0, os termos aumentam progressivamente.

• PG Decrescente: Quando 0 < |q| < 1, os termos diminuem gradativamente.

• PG Alternante: Quando q é negativo, os sinais dos termos se alternam entre positivo e negativo.

Exemplos:

• PG Crescente: 3, 9, 27, 81,… (q = 3)

• PG Decrescente: 16, 8, 4, 2,… (q = 0,5)

• PG Alternante: 5, -10, 20, -40,… (q = -2)

Aplicações das Progressões Geométricas

As progressões geométricas são utilizadas em diversas áreas:

• Economia: Cálculo de juros compostos.

• Biologia: Crescimento populacional de bactérias.

• Física: Decaimento radioativo.

• Tecnologia: Crescimento exponencial de dados.

Dicas para Resolver Questões de PG no ENEM

• Identifique o primeiro termo (a1) e a razão (q): Essas informações são essenciais para aplicar as fórmulas.

• Preste atenção ao tipo de PG: Saber se a PG é crescente, decrescente ou alternante ajuda na interpretação.

• Use as fórmulas corretamente: Tenha clareza sobre quando usar o termo geral ou a soma dos termos.

• Simplifique potências: Utilize propriedades de potenciação para facilitar os cálculos.

• Leia o enunciado com atenção: Extraia todas as informações necessárias para resolver a questão.

Exercícios Práticos

1. Encontrando o termo geral

Dada a PG com a1 = 5 e q = 3, qual é o 6º termo?

an = 5 × 3^(6 – 1)

an = 5 × 3^5

an = 5 × 243

an = 1.215

O 6º termo é 1.215.

2. Calculando a soma dos termos

Calcule a soma dos 4 primeiros termos da PG onde a1 = 2 e q = 2.

Sn = 2 × (2^4 – 1) / (2 – 1)

Sn = 2 × (16 – 1) / 1

Sn = 2 × 15

Sn = 30

A soma dos 4 primeiros termos é 30.

3. Identificando o tipo de PG

Considere a PG: 8, -4, 2, -1,…

• Razão: q = -4 / 8 = -0,5

• Como q é negativo e |q| < 1, trata-se de uma PG alternante e decrescente.

SIMULADO ENEM

Questão 1

Em uma progressão geométrica, o primeiro termo é 3 e a razão é 2. Qual é o 7º termo dessa PG?

A) 48

B) 64

C) 96

D) 192

E) 384

Resolução:

Utilizando a fórmula do termo geral:

an = a1 × q^(n – 1)

an = 3 × 2^(7 – 1)

an = 3 × 2^6

an = 3 × 64

an = 192

Resposta: D) 192

Questão 2

Calcule a soma dos 5 primeiros termos da PG em que a1 = 2 e q = 3.

A) 242

B) 364

C) 486

D) 728

E) 970

Resolução:

Aplicando a fórmula da soma:

Sn = a1 × (q^n – 1) / (q – 1)

Sn = 2 × (3^5 – 1) / (3 – 1)

Sn = 2 × (243 – 1) / 2

Sn = 2 × 242 / 2

Sn = 242

Resposta: A) 242

Questão 3

Uma bactéria se reproduz de forma que a cada hora o número de bactérias dobra. Se inicialmente há 500 bactérias, quantas haverá após 6 horas?

A) 1.000

B) 4.000

C) 8.000

D) 16.000

E) 32.000

Resolução:

Trata-se de uma PG com:

• a1 = 500

• q = 2

• n = 6

Usando a fórmula do termo geral:

an = a1 × q^(n – 1)

an = 500 × 2^(6 – 1)

an = 500 × 2^5

an = 500 × 32

an = 16.000

Resposta: D) 16.000

Conclusão

Compreender as progressões geométricas é fundamental para resolver questões que envolvem crescimento exponencial, juros compostos e fenômenos naturais. Praticar os conceitos e exercícios apresentados ajudará você a se preparar melhor para o ENEM.

Bons estudos e sucesso no ENEM!