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A divisibilidade e os números primos são conceitos fundamentais na matemática e aparecem frequentemente nas provas do ENEM. Compreender esses temas é essencial para resolver questões que envolvem fatoração, simplificação de frações e análise de divisores. Neste artigo, vamos explorar os princípios da divisibilidade, identificar números primos e fornecer dicas práticas para o ENEM.

O que é Divisibilidade?

Divisibilidade é a capacidade de um número inteiro ser dividido por outro número inteiro sem deixar resto. Se um número a pode ser dividido por um número b e o resultado é um número inteiro, dizemos que a é divisível por b ou que b é um divisor de a.

Notação

• a ÷ b: Leitura “a dividido por b”.

• a é divisível por b se o resto da divisão é zero.

Exemplos

• 10 é divisível por 2, pois 10 ÷ 2 = 5, e o resto é zero.

• 15 não é divisível por 4, pois 15 ÷ 4 = 3,75, não resultando em um número inteiro.

Critérios de Divisibilidade

Conhecer os critérios de divisibilidade facilita a identificação rápida dos divisores de um número.

Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 se for par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.

• Exemplo: 24 é divisível por 2.

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos for divisível por 3.

• Exemplo: 123 → 1 + 2 + 3 = 6. Como 6 é divisível por 3, 123 também é.

Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 se os dois últimos dígitos formarem um número divisível por 4.

• Exemplo: 316 → os dois últimos dígitos são 16, que é divisível por 4.

Divisibilidade por 5

Um número é divisível por 5 se terminar em 0 ou 5.

• Exemplo: 85 é divisível por 5.

Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 se for divisível por 2 e 3 simultaneamente.

• Exemplo: 54 é divisível por 2 (é par) e por 3 (5 + 4 = 9, que é divisível por 3).

Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 se a soma de seus algarismos for divisível por 9.

• Exemplo: 729 → 7 + 2 + 9 = 18. Como 18 é divisível por 9, 729 também é.

Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 se terminar em 0.

• Exemplo: 130 é divisível por 10.

Números Primos

Um número primo é um número natural maior que 1 que possui apenas dois divisores positivos distintos: 1 e ele mesmo.

Características dos Números Primos

• Não são divisíveis por nenhum outro número além de 1 e deles mesmos.

• O número 2 é o único número primo par.

• Os primeiros números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…

Importância dos Números Primos

Os números primos são os “blocos de construção” dos números naturais, pois qualquer número inteiro maior que 1 pode ser decomposto em um produto de números primos (fatoração em primos).

Fatoração em Números Primos

A fatoração é o processo de decompor um número em seus fatores primos.

Como Fazer a Fatoração

1. Divida o número pelo menor número primo possível (começando por 2).

2. Continue dividindo o quociente obtido pelo menor primo possível.

3. Repita o processo até que o quociente seja 1.

Exemplo

Fatore o número 60 em números primos.

1. 60 ÷ 2 = 30

2. 30 ÷ 2 = 15

3. 15 ÷ 3 = 5

4. 5 ÷ 5 = 1

Fatores primos: 2, 2, 3, 5

Expressão fatorada: 60 = 2² × 3 × 5

Máximo Divisor Comum (MDC) e Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

Máximo Divisor Comum (MDC)

O MDC de dois ou mais números é o maior número que divide todos eles simultaneamente.

Como Calcular o MDC

1. Faça a fatoração em primos de cada número.

2. Identifique os fatores primos comuns.

3. Multiplique os fatores comuns elevados aos menores expoentes.

Exemplo

Calcule o MDC de 48 e 60.

• Fatoração de 48: 2⁴ × 3

• Fatoração de 60: 2² × 3 × 5

Fatores comuns: 2² e 3

MDC: 2² × 3 = 12

Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

O MMC de dois ou mais números é o menor número múltiplo comum a todos eles.

Como Calcular o MMC

1. Faça a fatoração em primos de cada número.

2. Identifique todos os fatores primos presentes.

3. Multiplique os fatores elevados aos maiores expoentes.

Exemplo

Calcule o MMC de 48 e 60.

• Fatoração de 48: 2⁴ × 3

• Fatoração de 60: 2² × 3 × 5

Todos os fatores: 2⁴, 3, 5

MMC: 2⁴ × 3 × 5 = 240

Dicas para Resolver Questões no ENEM

• Conheça os critérios de divisibilidade: Isso agiliza a identificação de divisores.

• Pratique a fatoração em primos: Facilita o cálculo do MDC e MMC.

• Atenção aos enunciados: Muitas vezes, as questões do ENEM envolvem situações-problema.

• Revise os números primos: Saber identificar rapidamente se um número é primo pode economizar tempo.

Exemplos de Aplicação

Exemplo 1

Determine se 119 é um número primo.

Solução:

• Verifique divisibilidade por números primos menores:

• 119 ÷ 2: não é divisível (número ímpar).

• 119 ÷ 3: 39,666… não é inteiro.

• 119 ÷ 5: 23,8 não é inteiro.

• 119 ÷ 7: 17

Como 119 é divisível por 7 (119 = 7 × 17), não é primo.

Exemplo 2

Calcule o MDC de 18, 24 e 30.

Solução:

• Fatoração de 18: 2 × 3²

• Fatoração de 24: 2³ × 3

• Fatoração de 30: 2 × 3 × 5

Fatores comuns: 2¹ e 3¹

MDC: 2 × 3 = 6

SIMULADO ENEM

Questão 1

Um professor deseja organizar grupos de alunos para um projeto. Ele tem 36 meninos e 48 meninas. Ele quer formar grupos com o mesmo número de meninos e o mesmo número de meninas, sem deixar ninguém de fora. Qual é o maior número de grupos que ele pode formar?

A) 4

B) 6

C) 12

D) 24

Resolução

• Precisamos encontrar o MDC de 36 e 48.

• Fatoração de 36: 2² × 3²

• Fatoração de 48: 2⁴ × 3

Fatores comuns: 2² e 3

MDC: 2² × 3 = 12

Portanto, o maior número de grupos é 12.

Resposta correta: C) 12

Questão 2

Seja N um número natural tal que N = 2 × 3 × 7. Quantos divisores positivos distintos tem o número N?

A) 6

B) 8

C) 10

D) 12

Resolução

• Fatoração de N: 2¹ × 3¹ × 7¹

• Número de divisores é dado pelo produto dos expoentes incrementados em 1:

• (1 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) = 2 × 2 × 2 = 8

Resposta correta: B) 8

Questão 3

Qual é o menor número natural que, dividido por 6, 8 e 9, deixa sempre resto 3?

A) 75

B) 147

C) 123

D) 147

Resolução

• Primeiro, calculamos o MMC de 6, 8 e 9.

• Fatoração de 6: 2 × 3

• Fatoração de 8: 2³

• Fatoração de 9: 3²

MMC: 2³ × 3² = 72

• O número que deixa resto 3 é da forma N = MMC × k + 3

• O menor valor (k = 1): N = 72 × 1 + 3 = 75

Resposta correta: A) 75

Conclusão

Compreender os conceitos de divisibilidade e números primos é essencial para resolver questões do ENEM que envolvem fatoração, cálculo de MDC e MMC, e análise de divisores. Praticar esses conceitos e aplicar as dicas fornecidas ajudará a aumentar sua eficiência na resolução de problemas e melhorar seu desempenho na prova.

Bons estudos e sucesso no ENEM!