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O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e o Máximo Divisor Comum (MDC) são conceitos fundamentais na matemática e aparecem com frequência nas questões do ENEM. Compreender esses temas é essencial para resolver problemas que envolvem frações, divisibilidade, organização de eventos e muito mais. Neste artigo, vamos explicar de forma simples o que são o MMC e o MDC, como calculá-los e como aplicá-los em situações práticas.

O que é o Mínimo Múltiplo Comum (MMC)?

O MMC de dois ou mais números é o menor número inteiro positivo que é múltiplo de todos eles simultaneamente. Em outras palavras, é o menor número que pode ser dividido por todos os números dados sem deixar resto.

Como calcular o MMC?

A forma mais comum de calcular o MMC é utilizando a fatoração simultânea dos números. Veja os passos:

1. Liste os números que deseja encontrar o MMC.

2. Divida-os pelos menores números primos possíveis (2, 3, 5, 7, 11, …), mesmo que algum deles não seja divisível.
Divisor 12 18

DIVISOR	12	18
2	6	9
2	3	9
3	1	3
3	1	1

3. Repita o processo com os resultados obtidos até que todos os números resultem em 1.

4. Multiplique todos os divisores primos utilizados.

Exemplo

Calcule o MMC de 12 e 18.

Passo 1: Liste os números.

• 12 e 18

Passo 2: Divida pelos menores primos.

Divisor 12 18

2 6 9

2 3 9

3 1 3

3 1 1

Passo 3: Multiplique os divisores.

• MMC = 2 × 2 × 3 × 3 = 36

O que é o Máximo Divisor Comum (MDC)?

O MDC de dois ou mais números é o maior número inteiro positivo que divide todos eles ao mesmo tempo, sem deixar resto. É muito útil para simplificar frações e resolver problemas de divisão exata.

Como calcular o MDC?

Uma maneira eficaz de calcular o MDC é através da fatoração em números primos:

1. Fatore cada número em seus fatores primos.

2. Identifique os fatores primos comuns a todos os números.

3. Multiplique os fatores comuns, utilizando o menor expoente em que aparecem.

Exemplo

Calcule o MDC de 12 e 18.

Passo 1: Fatoração dos números.

• 12 = 2² × 3¹

• 18 = 2¹ × 3²

Passo 2: Identificar os fatores comuns.

• Fatores comuns: 2¹ e 3¹

Passo 3: Multiplicar os fatores comuns.

• MDC = 2¹ × 3¹ = 6

Aplicações Práticas do MMC e MDC

Quando usar o MMC?

• Sincronização de eventos: Determinar quando eventos que ocorrem em intervalos diferentes acontecerão simultaneamente.

• Operações com frações: Encontrar um denominador comum para somar ou subtrair frações.

Quando usar o MDC?

• Simplificação de frações: Reduzir frações ao menor termo possível.

• Divisão de quantidades: Dividir algo em partes iguais sem deixar sobras.

Dicas para o ENEM

• Identifique o que o problema pede: Se é necessário encontrar um múltiplo comum (MMC) ou um divisor comum (MDC).

• Pratique a fatoração: Dominar a fatoração em primos agiliza os cálculos.

• Leia atentamente o enunciado: Muitas vezes, a resposta está na interpretação correta do problema.

• Verifique os resultados: Sempre confira se o resultado faz sentido no contexto da questão.

Exemplos Práticos

Exemplo 1: Aplicando o MMC

Dois ônibus partem de uma rodoviária em horários diferentes. O primeiro sai a cada 15 minutos e o segundo a cada 20 minutos. Se eles partiram juntos às 8h, em que horário voltarão a partir juntos?

Solução:

• Precisamos encontrar o MMC de 15 e 20.

Fatoração de 15:

• 15 = 3 × 5

Fatoração de 20:

• 20 = 2² × 5

MMC:

• Multiplicamos todos os fatores primos pelos maiores expoentes:

• MMC = 2² × 3 × 5 = 4 × 3 × 5 = 60

• Portanto, eles voltarão a partir juntos após 60 minutos.

Resposta: Às 9h (8h + 60 minutos).

Exemplo 2: Aplicando o MDC

Uma confeiteira tem 24 morangos e 36 uvas. Ela quer fazer espetinhos de frutas, colocando a mesma quantidade de cada fruta em cada espetinho, sem sobras. Qual é o maior número de espetinhos que ela pode fazer?

Solução:

• Precisamos encontrar o MDC de 24 e 36.

Fatoração de 24:

• 24 = 2³ × 3

Fatoração de 36:

• 36 = 2² × 3²

MDC:

• Fatores comuns: 2² × 3¹

• MDC = 4 × 3 = 12

• Ela pode fazer 12 espetinhos.

Quantidade de frutas por espetinho:

• Morangos: 24 ÷ 12 = 2

• Uvas: 36 ÷ 12 = 3

Resposta: 12 espetinhos com 2 morangos e 3 uvas cada.

SIMULADO ENEM

Questão 1

Uma empresa possui dois turnos de trabalho. No turno da manhã, as máquinas são calibradas a cada 45 minutos, e no turno da tarde, a cada 60 minutos. Se as máquinas foram calibradas juntas às 9h, qual será o próximo horário em que serão calibradas simultaneamente?

A) 12h

B) 13h

C) 14h

D) 15h

Resolução

• Precisamos encontrar o MMC de 45 e 60.

Fatoração de 45:

• 45 = 3 × 3 × 5 = 3² × 5

Fatoração de 60:

• 60 = 2² × 3 × 5

MMC:

• Fatores: 2² × 3² × 5 = 4 × 9 × 5 = 180

• Elas serão calibradas juntas novamente após 180 minutos (3 horas).

• 9h + 3h = 12h

Resposta correta: A) 12h

Questão 2

Um professor deseja montar kits com lápis e borrachas para seus alunos. Ele tem 48 lápis e 64 borrachas. Qual é o maior número de kits iguais que ele pode montar sem que sobrem materiais?

A) 8

B) 12

C) 16

D) 24

Resolução

• Precisamos encontrar o MDC de 48 e 64.

Fatoração de 48:

• 48 = 2⁴ × 3

Fatoração de 64:

• 64 = 2⁶

MDC:

• Fatores comuns: 2⁴

• MDC = 2⁴ = 16

Resposta correta: C) 16

Questão 3

Um ciclista dá voltas em uma pista circular de 400 metros, enquanto outro ciclista dá voltas em uma pista de 600 metros. Se eles partem juntos de um mesmo ponto, qual a menor distância que cada um deve percorrer para se encontrarem novamente nesse ponto ao mesmo tempo?

A) 1.200 metros

B) 2.400 metros

C) 3.600 metros

D) 6.000 metros

Resolução

• Precisamos encontrar o MMC de 400 e 600.

Fatoração de 400:

• 400 = 2⁴ × 5²

Fatoração de 600:

• 600 = 2³ × 3 × 5²

MMC:

• Fatores: 2⁴ × 3¹ × 5² = 16 × 3 × 25 = 1.200

Resposta correta: A) 1.200 metros

Conclusão

Entender o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e o Máximo Divisor Comum (MDC) é crucial para resolver diversos problemas matemáticos, especialmente no contexto do ENEM. Esses conceitos facilitam a resolução de questões que envolvem sincronização de eventos, organização de grupos, simplificação de frações e muito mais.

Dicas Finais:

• Pratique regularmente: A familiaridade com a fatoração e os cálculos aumenta a rapidez e precisão.

• Interprete o problema: Identifique se o contexto pede o MMC ou o MDC.

• Verifique suas respostas: Sempre que possível, substitua os valores encontrados no problema para confirmar se fazem sentido.

Bons estudos e sucesso no ENEM!